สมบัติ

                                  การสลับที่                 



 



การบวกมี

สมบัติการสลับที่
หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้
โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้
a และ
b เป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว


  a

+ b = b
+ a

                                   การเปลี่ยนหมู่            


อีกสมบัติหนึ่งของการบวกคือ

สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อเราพยายามนิยามการบวกที่ซ้ำๆ กัน
อย่างนิพจน์ต่อไปนี้

a

+ b + c

จะนิยามว่าอย่างไรระหว่าง (

a

+ b)
+ c หรือ
a + (b + c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ
สำหรับสามจำนวนใดๆ
a, b, c ประโยคต่อไปนี้จะเป็นจริง    (a + b)
+ c = a + (b + c)

                                        ศูนย์และหนึ่ง   






เมื่อบวก

ศูนย์
เข้ากับจำนวนใด
ปริมาณที่ได้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากศูนย์เป็น
สมาชิกเอกลักษณ์
ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็น
เอกลักษณ์การบวก
สำหรับค่า
a ใดๆ จะได้ว่า


    a

+ 0 = 0 + a
= a



  

     ในบริบทของ

จำนวนเต็ม การบวกด้วย
หนึ่ง
จะทำให้เกิดบทบาทพิเศษ
นั่นคือสำหรับจำนวนเต็ม
a ใดๆ จำนวน
a
+ 1 จะเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า
a หรือเรียกได้ว่าเป็น ตัวตามหลัง
(successor) ของ

a และเนื่องจากการเกิดตัวตามหลังในกรณีเช่นนี้ ผลของ
a
+ b จึงมองได้ว่าเป็นตัวตามหลังตัวที่
b ของ
a ซึ่งเกิดจากการบวกด้วยหนึ่งซ้ำๆ กัน